在高中数学的学习过程中，统计学部分常常涉及到回归分析的内容。其中，回归直线方程是解决实际问题的重要工具之一。它可以帮助我们找到变量之间的线性关系，并预测未来的趋势或结果。本文将通过一个具体的例题来展示如何求解回归直线方程。
例题背景
假设某学校为了研究学生每天学习时间与考试成绩的关系，收集了以下数据：
| 学习时间（小时）x | 考试成绩（分）y |
|-------------------|---------------|
| 2 | 60|
| 3 | 70|
| 4 | 80|
| 5 | 85|
| 6 | 90|
我们需要根据这些数据建立回归直线方程 \( y = a + bx \)，并利用该方程预测当学习时间为7小时时的考试成绩。
解题步骤
1. 计算均值
首先，我们需要计算 \( x \) 和 \( y \) 的平均值：
\[
\bar{x} = \frac{\sum x}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum y}{n}
\]
其中，\( n \) 是样本数量。代入数据：
\[
\bar{x} = \frac{2+3+4+5+6}{5} = 4, \quad \bar{y} = \frac{60+70+80+85+90}{5} = 77
\]
2. 计算相关系数和斜率
斜率 \( b \) 的公式为：
\[
b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}
\]
分别计算分子和分母：
\[
\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (2-4)(60-77) + (3-4)(70-77) + (4-4)(80-77) + (5-4)(85-77) + (6-4)(90-77)
\]
\[
= (-2)(-17) + (-1)(-7) + (0)(3) + (1)(8) + (2)(13) = 34 + 7 + 0 + 8 + 26 = 75
\]
\[
\sum (x_i - \bar{x})^2 = (2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
\]
因此，斜率 \( b \) 为：
\[
b = \frac{75}{10} = 7.5
\]
3. 计算截距
截距 \( a \) 的公式为：
\[
a = \bar{y} - b\bar{x}
\]
代入已知值：
\[
a = 77 - 7.5 \times 4 = 77 - 30 = 47
\]
4. 写出回归方程
将 \( a \) 和 \( b \) 带入回归方程 \( y = a + bx \)：
\[
y = 47 + 7.5x
\]
5. 预测考试成绩
当学习时间为7小时时，代入方程：
\[
y = 47 + 7.5 \times 7 = 47 + 52.5 = 99.5
\]
结论
通过上述步骤，我们得到了回归直线方程 \( y = 47 + 7.5x \)，并预测当学习时间为7小时时，考试成绩约为99.5分。这表明学习时间与考试成绩之间存在较强的正相关关系。
希望这个例题能够帮助大家更好地理解回归直线方程的求解方法！
