在高中数学的学习过程中，必修四与必修五是学生在高二阶段需要掌握的重要内容。这两部分内容涵盖了三角函数、平面向量、解三角形、数列、不等式等多个知识点，是对学生数学思维能力和综合运用能力的全面考察。为了帮助同学们更好地巩固所学知识，提升解题技巧，以下是一份针对“高中数学必修四必修五”的综合测试题，供同学们练习使用。
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 已知向量 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (-1, 3) $，则 $ \vec{a} + \vec{b} $ 的坐标为（ ）
A. $ (1, 2) $
B. $ (1, -2) $
C. $ (3, 2) $
D. $ (3, -2) $
2. 在等差数列 $ \{a_n\} $ 中，已知 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = -2 $，则第6项 $ a_6 $ 是（ ）
A. $ -7 $
B. $ -5 $
C. $ -3 $
D. $ -1 $
3. 若 $ \sin \theta = \frac{1}{2} $，且 $ \theta \in [0, 2\pi] $，则 $ \theta $ 的可能值为（ ）
A. $ \frac{\pi}{6} $
B. $ \frac{5\pi}{6} $
C. $ \frac{\pi}{6} $ 或 $ \frac{5\pi}{6} $
D. $ \frac{\pi}{3} $
4. 不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $ 的解集为（ ）
A. $ (1, 3) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
C. $ (-\infty, 1) $
D. $ (3, +\infty) $
5. 在△ABC中，若 $ \angle A = 60^\circ $，边 $ b = 2 $，边 $ c = 3 $，则边 $ a $ 的长度为（ ）
A. $ \sqrt{7} $
B. $ \sqrt{10} $
C. $ \sqrt{11} $
D. $ \sqrt{13} $
6. 数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，则 $ a_4 $ 的值为（ ）
A. 7
B. 15
C. 14
D. 8
二、填空题（每题5分，共20分）
7. 向量 $ \vec{a} = (3, 4) $，其模长为 ______。
8. 等比数列 $ \{a_n\} $ 中，首项为 2，公比为 3，则第5项为 ______。
9. 已知 $ \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} $，且 $ \theta \in (\pi, 2\pi) $，则 $ \theta = $ ______。
10. 若 $ x > 0 $，则 $ x + \frac{1}{x} $ 的最小值为 ______。
三、解答题（共50分）
11. （本题10分）
已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，求：
（1）向量 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角；
（2）向量 $ \vec{a} $ 在 $ \vec{b} $ 方向上的投影。
12. （本题12分）
在△ABC中，已知 $ a = 5 $，$ b = 7 $，$ c = 8 $，求：
（1）角 $ A $ 的大小（用反余弦表示）；
（2）△ABC 的面积。
13. （本题14分）
已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + n $，
（1）写出前四项 $ a_1, a_2, a_3, a_4 $；
（2）求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式。
14. （本题14分）
解不等式 $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \geq 0 $，并写出解集。
参考答案（仅供参考）
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. A
5. A
6. B
二、填空题
7. 5
8. 54
9. $ \frac{5\pi}{6} $
10. 2
三、解答题
11.（1）夹角为 $ \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) $；（2）投影为 $ \frac{1}{\sqrt{10}} $。
12.（1）$ \angle A = \arccos\left(\frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \times 7 \times 8}\right) $；（2）面积约为 14.7。
13.（1）$ a_1=1, a_2=3, a_3=8, a_4=19 $；（2）通项公式为 $ a_n = 2^n - n - 1 $。
14. 解集为 $ (-\infty, 1) \cup [2, 3] $。
通过这份综合测试题，希望同学们能够系统地复习和巩固必修四与必修五的相关知识，提升自身的数学素养和解题能力。在学习过程中，注重理解概念、掌握方法、强化训练，才能在考试中取得理想的成绩。
