在初三阶段，数学的学习内容逐渐加深，涵盖了代数、几何、函数等多个重要知识点。为了帮助学生更好地掌握这些知识，巩固所学内容，适当的练习是必不可少的。以下是一些精选的初中数学练习题，并附有详细解答，适合初三学生进行复习和提升。
一、选择题
1. 若 $ x = 2 $，则 $ 3x^2 - 4x + 5 $ 的值为（ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：C
解析：将 $ x = 2 $ 代入得 $ 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 $。
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 + 3x = 0 $
C. $ 2x + y = 5 $
D. $ \frac{1}{x} = 3 $
答案：B
解析：一元二次方程的标准形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。
二、填空题
3. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解为 __________。
答案：$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
解析：因式分解得 $ (x - 2)(x - 3) = 0 $。
4. 已知点 $ A(1, 2) $ 和点 $ B(4, 6) $，则线段 $ AB $ 的长度为 __________。
答案：5
解析：使用距离公式 $ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $。
三、解答题
5. 解方程：
$$
\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 1
$$
解：
首先找到公分母 $ (x - 1)(x + 1) $，两边同时乘以该分母得：
$$
2(x + 1) + 3(x - 1) = (x - 1)(x + 1)
$$
展开并整理：
$$
2x + 2 + 3x - 3 = x^2 - 1
\Rightarrow 5x - 1 = x^2 - 1
\Rightarrow x^2 - 5x = 0
\Rightarrow x(x - 5) = 0
$$
所以 $ x = 0 $ 或 $ x = 5 $。
但要注意原方程中 $ x \neq 1 $ 且 $ x \neq -1 $，因此两个解都有效。
答案：$ x = 0 $ 或 $ x = 5 $
6. 在直角三角形中，已知斜边为 10，一条直角边为 6，求另一条直角边的长度。
解：
设另一条直角边为 $ a $，根据勾股定理：
$$
a^2 + 6^2 = 10^2
\Rightarrow a^2 + 36 = 100
\Rightarrow a^2 = 64
\Rightarrow a = 8
$$
答案：8
四、应用题
7. 某商店购进一批商品，每件成本价为 8 元，若以每件 12 元出售，可卖出 100 件；若每降价 1 元，则多卖出 20 件。问售价定为多少时，利润最大？
解：
设售价为 $ x $ 元（$ 8 < x \leq 12 $），则每件利润为 $ x - 8 $ 元，销量为 $ 100 + 20(12 - x) = 340 - 20x $ 件。
总利润 $ P = (x - 8)(340 - 20x) $
展开并整理：
$$
P = -20x^2 + 420x - 2720
$$
这是一个开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处：
$$
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-420}{2 \times (-20)} = 10.5
$$
所以当售价定为 10.5 元时，利润最大。
答案：售价定为 10.5 元时，利润最大。
以上就是一些典型的初中数学练习题及其答案，涵盖代数、几何和实际应用等内容，适合初三学生进行系统性复习与训练。通过不断练习，能够有效提升数学思维能力和解题技巧。
