【2021-2022学年八年级上册数学人教版导学案14.3.2（第2课时）】一、学习目标
1. 理解并掌握因式分解中的平方差公式及其应用；
2. 能够熟练运用平方差公式进行多项式的因式分解；
3. 培养学生观察、分析和归纳能力，提高运算准确性和灵活性。
二、重点与难点
- 重点：理解平方差公式的结构，掌握其使用方法。
- 难点：在实际问题中灵活运用平方差公式进行因式分解。
三、知识回顾
1. 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
2. 因式分解的基本方法包括提取公因式法、公式法等。
3. 平方差公式：
$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
四、新知探究
1. 平方差公式的引入
观察以下两个式子：
- $ x^2 - 9 = (x)^2 - (3)^2 = (x + 3)(x - 3) $
- $ 16y^2 - 25 = (4y)^2 - (5)^2 = (4y + 5)(4y - 5) $
通过以上例子可以看出，当一个多项式是两个数的平方差时，可以利用平方差公式将其分解为两个一次式的乘积。
2. 公式总结
平方差公式：
$$
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
$$
其中，“$ a $”和“$ b $”可以是单项式或多项式。
3. 应用举例
例题1：将 $ 25x^2 - 49 $ 分解因式。
解：
$$
25x^2 - 49 = (5x)^2 - (7)^2 = (5x + 7)(5x - 7)
$$
例题2：分解 $ 16m^2 - 9n^2 $。
解：
$$
16m^2 - 9n^2 = (4m)^2 - (3n)^2 = (4m + 3n)(4m - 3n)
$$
五、课堂练习
1. 分解因式：
- $ 36a^2 - 81 $
- $ 49b^2 - 16c^2 $
- $ 100x^2 - y^2 $
2. 判断下列各式是否能用平方差公式分解因式，并说明理由：
- $ x^2 + 16 $
- $ 25 - m^2 $
- $ 9a^2 - 6ab + b^2 $
六、拓展提升
尝试将以下多项式分解因式：
- $ (x + y)^2 - z^2 $
- $ (2a + b)^2 - (a - b)^2 $
提示：可以先展开或直接套用平方差公式。
七、课堂小结
1. 平方差公式是因式分解的重要工具之一，适用于形如“两数平方差”的多项式；
2. 在使用公式前，要先判断是否符合“平方差”的形式；
3. 多项式中的每一项都应尽可能写成平方的形式，再进行分解。
八、课后作业
1. 教材第118页练习第2、3、4题；
2. 完成课本第119页习题14.3第3题；
3. 自主完成一道涉及平方差公式的综合题，写出详细步骤。
教师寄语：
数学是一门逻辑严密的学科，因式分解是其中的重要内容。希望大家通过本节课的学习，能够灵活运用平方差公式，提升自己的计算能力和思维能力。
