【sin15度等于多少根号】在三角函数的学习中，sin15°是一个常见的角度，但它的值并不像sin30°、sin45°那样直观。很多人对sin15°的精确表达式感到困惑，尤其是它是否可以用“根号”形式表示。本文将从数学推导出发，总结出sin15°的准确表达方式，并以表格形式清晰展示。
一、sin15°的数学推导
我们知道，15°可以看作是45°与30°的差，即：
$$
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ)
$$
根据正弦的差角公式：
$$
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
代入A=45°，B=30°，得：
$$
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
$$
已知：
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
代入计算：
$$
\sin(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
因此，sin15°的精确值为：
$$
\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
二、sin15°的数值近似值
为了更直观地理解这个值的大小，我们可以计算其近似值：
$$
\sqrt{6} \approx 2.449, \quad \sqrt{2} \approx 1.414
$$
$$
\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx \frac{2.449 - 1.414}{4} = \frac{1.035}{4} \approx 0.2588
$$
通过计算器验证，$\sin(15^\circ) \approx 0.2588$，与上述结果一致。
三、总结表格
| 角度 | 正弦值（精确表达式） | 正弦值（近似值） |
| 15° | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | ≈ 0.2588 |
四、小结
通过三角函数的差角公式，我们得出sin15°的精确表达式为$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，这一表达式完全由根号构成，符合“sin15度等于多少根号”的问题要求。同时，其近似值约为0.2588，可用于实际计算和工程应用。
掌握这种角度的正弦表达式，有助于提升对三角函数的理解和灵活运用能力。
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