【概率公式c】在概率论与组合数学中，符号“C”通常表示组合数（Combination），用于计算从n个不同元素中选取k个元素的方式数目，不考虑顺序。组合数的计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
其中，“!”表示阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 1。
一、组合数的基本概念
组合数C(n, k)常用于概率计算中，特别是在涉及随机事件的可能结果时。它表示的是从n个不同元素中选出k个元素的所有可能方式的数量。与排列数P(n, k)不同，组合数不关心元素的顺序，只关心哪些元素被选中。
二、常见组合数公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 组合数公式 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ | 从n个元素中选k个的组合数 |
| 对称性质 | $ C(n, k) = C(n, n-k) $ | 选k个和选n-k个的结果相同 |
| 加法性质 | $ C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k) $ | 组合数的递推关系 |
| 特殊值 | $ C(n, 0) = 1 $ | 从n个元素中选0个只有1种方式 |
| 特殊值 | $ C(n, 1) = n $ | 从n个元素中选1个有n种方式 |
| 特殊值 | $ C(n, n) = 1 $ | 从n个元素中选全部只有1种方式 |
三、实际应用示例
假设我们有一个装有5个球的盒子，其中有3个红球和2个蓝球。从中任取2个球，求取出的两个都是红球的概率。
- 总的取法数：$ C(5, 2) = 10 $
- 红球取法数：$ C(3, 2) = 3 $
- 概率：$ \frac{3}{10} $
这个例子展示了如何通过组合数来计算事件的概率。
四、注意事项
- 组合数仅适用于无序选择的情况。
- 在使用组合数时，需确保n ≥ k，否则结果为0。
- 阶乘增长迅速，因此在实际计算中需注意数值范围，避免溢出。
通过理解组合数的概念和公式，我们可以更有效地解决概率问题，并在统计学、计算机科学等领域中广泛应用。
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