【等比等差数列前n项和公式怎么写】在数学学习中，等差数列和等比数列是常见的数列类型，它们的前n项和公式是解决相关问题的基础工具。掌握这两个公式的正确写法和应用场景，有助于提高解题效率。
以下是对等差数列与等比数列前n项和公式的总结，并以表格形式展示其基本内容和使用方法。
一、等差数列前n项和公式
定义：
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为定值的数列。这个定值称为“公差”，记作d。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。
前n项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：
- 第一个公式适用于已知首项和末项时；
- 第二个公式适用于已知首项和公差时。
二、等比数列前n项和公式
定义：
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为定值的数列。这个定值称为“公比”，记作q。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比，$ n $ 是项数。
前n项和公式：
当 $ q \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $$
当 $ q = 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot n $$
说明：
- 当公比不等于1时，使用上述两个公式之一；
- 当公比等于1时，所有项都相等，直接乘以项数即可。
三、对比表格
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为定值（公差d） | 每项与前一项的比为定值（公比q） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot q^{n - 1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（q ≠ 1） $ S_n = a_1 \cdot n $（q = 1） |
四、使用建议
- 在实际应用中，应根据题目给出的条件选择合适的公式；
- 注意区分等差数列与等比数列的不同特性，避免混淆；
- 若题目未明确说明公比是否为1，需分情况讨论。
通过理解并熟练运用这些公式，可以更高效地解决与数列相关的数学问题。
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