【全微分怎么求例题】在高等数学中，全微分是一个重要的概念，常用于研究多元函数的变化率。掌握全微分的计算方法对于理解函数的局部性质和进行近似计算具有重要意义。本文将通过几个典型例题，总结全微分的求法，并以表格形式展示关键步骤与结果。
一、全微分的基本概念
设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微，则其全微分定义为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
其中，$ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 分别是函数对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数，$ dx $ 和 $ dy $ 是自变量的微小变化量。
二、全微分的求法步骤
1. 求偏导数：分别对 $ x $ 和 $ y $ 求偏导。
2. 代入公式：将偏导数代入全微分公式中。
3. 简化表达式（如需）：根据题目要求进行整理或代入具体数值。
三、例题解析
| 题目 | 函数表达式 | 偏导数 | 全微分表达式 |
| 例题1 | $ z = x^2 + xy + y^2 $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y $ | $ dz = (2x + y)dx + (x + 2y)dy $ |
| 例题2 | $ z = e^{xy} $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy} $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy} $ | $ dz = ye^{xy}dx + xe^{xy}dy $ |
| 例题3 | $ z = \ln(x^2 + y^2) $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} $ | $ dz = \frac{2x}{x^2 + y^2}dx + \frac{2y}{x^2 + y^2}dy $ |
| 例题4 | $ z = \sin(xy) $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy) $ $ \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy) $ | $ dz = y\cos(xy)dx + x\cos(xy)dy $ |
四、注意事项
- 全微分只适用于可微函数，若函数不可微则不能使用全微分。
- 若题目要求在某一点处求全微分，需先代入该点的坐标再计算偏导数。
- 全微分可以用于近似计算函数值的变化，例如：$ \Delta z \approx dz $。
五、总结
全微分是研究多元函数变化的重要工具，其核心在于偏导数的计算与代入。通过掌握基本步骤并结合实例练习，可以更熟练地应用全微分解决实际问题。希望以上例题与表格能帮助你更好地理解和掌握“全微分怎么求”的方法。
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