【投影向量坐标公式】在向量几何中，投影向量是将一个向量沿着另一个向量方向进行“压缩”或“映射”的结果。它在物理、工程、计算机图形学等多个领域有广泛应用。掌握投影向量的坐标公式，有助于更高效地处理向量之间的关系。

一、投影向量的基本概念

设向量 a 和向量 b（其中 b ≠ 0），则向量 a 在向量 b 上的投影向量，表示为 proj_b a，其方向与 b 相同或相反，长度由 a 在 b 方向上的分量决定。

二、投影向量的坐标公式

设向量 a = (a₁, a₂)，向量 b = (b₁, b₂)，则向量 a 在 b 上的投影向量 proj_b a 的坐标公式如下：

$$

\text{proj}_b a = \left( \frac{a \cdot b}{b^2} \right) b

$$

其中：

- $ a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 $ 是向量 a 和 b 的点积；

- $ b = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $ 是向量 b 的模长。

三、投影向量坐标的计算步骤

四、示例说明

假设向量 a = (3, 4)，向量 b = (1, 2)，求 a 在 b 上的投影向量。

1. 点积：$ a \cdot b = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11 $

2. 模长平方：$ b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 $

3. 投影系数：$ \frac{11}{5} = 2.2 $

4. 投影向量：$ \text{proj}_b a = 2.2 \times (1, 2) = (2.2, 4.4) $

五、总结

通过理解并掌握投影向量的坐标公式，可以更直观地分析和解决向量之间的关系问题，提升数学建模能力。

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