在数学分析中，数列极限是一个非常重要的概念。它帮助我们理解数列的行为模式以及其最终的趋势。下面通过几个具体的例子来说明如何求解数列的极限。

例题一：基本形式的数列极限

考虑数列 {a_n} = (3n + 5) / (2n - 1)，求当 n 趋向于无穷大时该数列的极限。

解法：

对于这种形式的分式数列，通常的做法是将分子和分母同时除以最高次幂的项（这里是 n）。这样可以简化表达式，便于观察其极限值。

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{2n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{1}{n}} \]

当 n 趋向无穷大时，\(\frac{5}{n}\) 和 \(\frac{1}{n}\) 都趋于 0。因此，

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3}{2} \]

所以，数列 {a_n} 的极限为 \( \frac{3}{2} \)。

例题二：指数增长与衰减的结合

设数列 {b_n} = \((1 + \frac{1}{n})^n\)，求当 n 趋向于无穷大时的极限。

解法：

这个数列涉及到著名的 e 常数，其中 e 是自然对数的底数，约等于 2.71828。通过分析，我们知道：

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \]

因此，数列 {b_n} 的极限为 e。

例题三：递归定义的数列

假设数列 {c_n} 满足递推关系 \( c_1 = 1 \)，\( c_{n+1} = \sqrt{c_n + 6} \)，求当 n 趋向于无穷大时的极限。

解法：

首先假设该数列存在极限 L，则当 n 趋向无穷大时，\( c_n \) 和 \( c_{n+1} \) 都趋于 L。因此，L 应满足以下方程：

\[ L = \sqrt{L + 6} \]

两边平方后得到：

\[ L^2 = L + 6 \]

整理得：

\[ L^2 - L - 6 = 0 \]

这是一个二次方程，可以通过因式分解或求根公式求解：

\[ (L - 3)(L + 2) = 0 \]

因此，L 可能为 3 或 -2。由于数列的所有项都是正数，所以极限只能是 3。

以上三个例子展示了不同类型数列极限问题的解决方法。掌握这些基本技巧后，可以更轻松地处理更加复杂的数列极限问题。