在物理学中，完全非弹性碰撞是一种特殊的碰撞类型，其中两个物体在碰撞后粘在一起并以相同的速度移动。这种类型的碰撞涉及到动量守恒和能量损失的概念。为了更好地理解这一现象，我们需要对完全非弹性碰撞的公式进行详细的推导。

首先，我们假设有两个物体A和B，它们的质量分别为m₁和m₂，初始速度分别为v₁和v₂。当这两个物体发生完全非弹性碰撞时，它们最终会以共同的速度v合并。

根据动量守恒定律，在没有外力作用的情况下，系统的总动量在碰撞前后保持不变。因此，我们可以写出以下方程：

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v

这个方程表示了碰撞前后的总动量相等。接下来，我们需要解出碰撞后的共同速度v。通过简单的代数运算，我们可以得到：

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

这个公式就是完全非弹性碰撞后两物体共同速度的表达式。它告诉我们，最终的速度取决于两个物体的质量以及它们各自的初速度。

此外，在完全非弹性碰撞中，动能并不是守恒的。实际上，一部分动能会在碰撞过程中转化为其他形式的能量，如热能或声能。这可以通过计算碰撞前后的动能差异来验证。碰撞前的总动能为：

K₁ = 0.5m₁v₁² + 0.5m₂v₂²

而碰撞后的总动能为：

K₂ = 0.5(m₁ + m₂)v²

通过比较K₁和K₂，我们可以看到碰撞后系统的动能减少了，这意味着能量的转化发生了。

综上所述，完全非弹性碰撞的公式推导过程主要依赖于动量守恒定律，并且涉及到了动能的变化。通过对这些基本原理的理解，我们可以更深入地了解自然界中的各种物理现象。