在考研数学二的复习过程中，掌握核心公式是提高解题效率和准确性的关键环节。本文将从高等数学、线性代数两大板块出发，梳理出一些高频考点的相关公式，并结合实际应用给出简要说明，帮助考生快速记忆与灵活运用。
一、高等数学部分
1. 极限与连续
- 洛必达法则：若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在点 $ x_0 $ 处满足 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0, \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ 或 $\lim_{x \to x_0} |f(x)| = \infty, \lim_{x \to x_0} |g(x)| = \infty$，则
$$
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
（当右边极限存在时）。
- 重要极限公式：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
$$
2. 微积分基本定理
- 牛顿-莱布尼茨公式：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)
$$
- 分部积分法：
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
3. 级数与微分方程
- 泰勒展开式（以 $ e^x $ 为例）：
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$
- 一阶线性微分方程通解公式：
对于形如 $ y' + p(x)y = q(x) $ 的方程，其通解为：
$$
y = e^{-\int p(x)dx} \left[ C + \int q(x)e^{\int p(x)dx} dx \right]
$$
二、线性代数部分
1. 行列式性质
- 行列式的展开公式（按第一行展开）：
$$
D_n = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n}
$$
其中 $ A_{ij} $ 为代数余子式。
- 行列式的特殊值：
若行列式某一行（列）全为零，则行列式值为零；若两行（列）成比例，则行列式值也为零。
2. 矩阵运算
- 矩阵乘法结合律：
$$
(AB)C = A(BC)
$$
- 逆矩阵公式：
若矩阵 $ A $ 可逆，则 $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) $，其中 $ \text{adj}(A) $ 为伴随矩阵。
3. 特征值与特征向量
- 特征值定义：
若存在非零向量 $ \mathbf{x} $ 满足 $ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $，则称 $ \lambda $ 为矩阵 $ A $ 的特征值，$ \mathbf{x} $ 为其对应的特征向量。
- 特征多项式：
设 $ A $ 为 $ n \times n $ 矩阵，则其特征多项式为：
$$
|A - \lambda I| = 0
$$
总结
以上公式涵盖了考研数学二中的核心知识点，考生需通过反复练习熟悉其应用场景。此外，建议结合历年真题进行针对性训练，逐步提升对公式的理解深度与运用能力。祝大家备考顺利，金榜题名！
