在现代数学和应用科学中，分数阶布朗运动（Fractional Brownian Motion, fBm）是一种重要的随机过程。它是由法国数学家保罗·利维于1953年首次引入的，后来被广泛应用于金融、物理、网络流量建模等多个领域。fBm的主要特征在于其自相似性和长程依赖性，这些性质使得它成为描述复杂系统动态行为的理想工具。

正则性是衡量函数或信号平滑程度的一个重要指标。对于分数阶布朗运动而言，其正则性的研究不仅有助于理解该过程本身的性质，还对相关领域的理论发展和技术应用具有重要意义。例如，在金融市场的风险评估中，了解资产价格波动路径的正则性可以帮助投资者更好地预测市场趋势；而在通信网络中，掌握数据包到达时间序列的正则特性，则有利于优化网络资源分配策略。

从数学角度来看，分数阶布朗运动可以看作是对经典布朗运动的一种推广形式。传统布朗运动是一个具有独立增量和平稳分布特性的马尔可夫过程，而fBm则通过引入 Hurst 参数 H 来刻画长期记忆效应。当 H > 0.5 时，表明存在正向相关关系；当 H < 0.5 时，则表现为负向相关；特别地，当 H = 0.5 时退化为标准布朗运动。这种灵活性使得fBm能够更准确地反映自然界和社会经济活动中普遍存在的非线性现象。

为了深入探讨分数阶布朗运动的正则性问题，我们需要借助于一些经典的分析方法。首先是 Holder 连续性，这是衡量连续函数局部变化剧烈程度的一个重要尺度。研究表明，对于任意给定的时间间隔 [a,b] 上的分数阶布朗运动样本路径几乎处处满足 Holder 指数小于等于 H 的条件。这意味着随着 Hurst 参数值增大，函数图像会变得更加光滑；反之亦然。

另一个关键概念是变差函数。变差函数定义为两个不同点之间的距离平方除以两者之间的时间差绝对值的幂次方。通过计算变差函数的增长速率，我们可以进一步揭示分数阶布朗运动所具有的独特性质。此外，小波变换也被证明是一种非常有效的工具，它可以将复杂的信号分解成不同尺度下的成分，并据此判断其正则性水平。

综上所述，分数阶布朗运动作为一种重要的随机过程模型，在多个学科交叉领域展现出强大的生命力。通过对这一课题的研究，我们不仅可以加深对随机系统的认识，还能为实际问题提供更加精确的解决方案。未来的工作将继续围绕如何改进现有算法、拓展应用场景等方面展开探索，力求实现理论与实践相结合的最佳效果。