在学习高等数学的过程中，通过做题来巩固知识点、提升解题能力是非常重要的环节。本文提供一套涵盖微积分基础内容的测试题，并附有详细的解答过程，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域是：
A. $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $
B. $ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
C. $ (-2, 2) $
D. $ \mathbb{R} $
2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} $ 的值为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
3. 设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则其导数 $ f'(x) $ 是：
A. $ 3x^2 - 3 $
B. $ 3x^2 + 3 $
C. $ 3x^2 - 3x $
D. $ 3x^2 + 1 $
4. 定积分 $ \int_0^1 x^2 \, dx $ 的值为：
A. $ \frac{1}{3} $
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ \frac{2}{3} $
D. 1
5. 曲线 $ y = e^x $ 在点 $ x = 0 $ 处的切线方程是：
A. $ y = x $
B. $ y = x + 1 $
C. $ y = 1 $
D. $ y = e $
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，则称 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处 __________。
2. 不定积分 $ \int \cos x \, dx = $ __________。
3. 函数 $ y = \ln(x^2 + 1) $ 的导数为 __________。
4. 若 $ f(x) = x^2 $，则 $ f''(x) = $ __________。
5. 微分方程 $ y' = 2x $ 的通解为 __________。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 求极限：$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $
2. 求函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x + 1} $ 的导数。
3. 计算定积分：$ \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx $
4. 求曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
四、证明题（10分）
设函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，试用罗尔定理证明：存在 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
五、应用题（10分）
一个长方体的底面是一个正方形，体积为 $ V $，求当底面边长为多少时，其表面积最小。
参考答案与解析
一、选择题答案
1. A
解析：分母不能为零，即 $ x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 $，所以定义域为 $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $。
2. C
解析：利用极限公式 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k $，故结果为 2。
3. A
解析：对 $ x^3 - 3x + 1 $ 求导得 $ 3x^2 - 3 $。
4. A
解析：$ \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} $。
5. B
解析：$ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的导数为 1，切线方程为 $ y = x + 1 $。
二、填空题答案
1. 连续
2. $ \sin x + C $
3. $ \frac{2x}{x^2 + 1} $
4. $ 2 $
5. $ y = x^2 + C $
三、计算题解析
1. 极限：
$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $
（这是自然常数 $ e $ 的定义式）
2. 导数：
使用商法则：
$ f(x) = \frac{x^2}{x + 1} $，则
$ f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - x^2(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} $
3. 定积分：
令 $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $，
当 $ x = 1 $，$ u = 0 $；当 $ x = e $，$ u = 1 $，
所以 $ \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \int_0^1 u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} $
4. 切线方程：
$ y = x^3 - 3x $，导数为 $ y' = 3x^2 - 3 $，
在 $ x = 1 $ 处，$ y = 1 - 3 = -2 $，斜率为 $ 3(1)^2 - 3 = 0 $，
所以切线方程为 $ y = -2 $
四、证明题解析
根据罗尔定理：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $ [a, b] $ 上连续，在开区间 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，则至少存在一点 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
本题条件满足罗尔定理的前提，因此结论成立。
五、应用题解析
设底面边长为 $ x $，高为 $ h $，则体积 $ V = x^2 h \Rightarrow h = \frac{V}{x^2} $。
表面积 $ S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + 4x \cdot \frac{V}{x^2} = 2x^2 + \frac{4V}{x} $。
对 $ S $ 求导并令导数为零：
$ S'(x) = 4x - \frac{4V}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = V \Rightarrow x = \sqrt[3]{V} $
此时表面积最小。
通过以上题目和解析，可以系统地复习高等数学中的基本概念和方法，适用于考试复习或课后练习。
