【微积分试题集】在数学的学习过程中，微积分作为一门基础而重要的学科，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。为了帮助学习者更好地掌握微积分的核心概念和解题技巧，本文整理了一些典型的微积分题目，并附有详细的解答过程，旨在提升读者的思维能力与应用水平。
一、函数的极限与连续性
题目1：
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$。
解析：
此题可利用基本极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 进行变形：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3
$$
题目2：
判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ 在 $x=2$ 处是否连续。
解析：
首先化简函数表达式：
$$
f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)
$$
当 $x \to 2$ 时，$f(x) \to 4$，但原函数在 $x=2$ 处无定义，因此该点不连续，属于可去间断点。
二、导数与微分
题目3：
设 $y = \ln(\cos x)$，求 $y'$。
解析：
使用链式法则：
$$
y' = \frac{d}{dx} \ln(\cos x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x
$$
题目4：
求函数 $f(x) = x^3 e^x$ 的导数。
解析：
使用乘积法则：
$$
f'(x) = (x^3)' e^x + x^3 (e^x)' = 3x^2 e^x + x^3 e^x = e^x (3x^2 + x^3)
$$
三、积分与不定积分
题目5：
计算不定积分 $\int x \cos x \, dx$。
解析：
使用分部积分法：
令 $u = x$, $dv = \cos x dx$，则 $du = dx$, $v = \sin x$
$$
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C
$$
题目6：
计算定积分 $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx$。
解析：
利用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$：
$$
\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}
$$
代入上下限得：
$$
\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}
$$
四、应用问题
题目7：
一个球形水池半径为 3 米，水深从 0 到 3 米，求水的体积随时间变化的速率（假设水以每分钟 1 立方米的速度注入）。
解析：
球体部分体积公式为：
$$
V = \pi \left( r h^2 - \frac{h^3}{3} \right), \quad r = 3, h \in [0,3]
$$
对时间求导：
$$
\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2r h \cdot \frac{dh}{dt} - h^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right) = \pi \cdot \frac{dh}{dt} (2rh - h^2)
$$
已知 $\frac{dV}{dt} = 1$，可求出 $\frac{dh}{dt}$ 随时间的变化关系。
结语
微积分不仅是数学的基础工具，更是解决实际问题的重要手段。通过不断练习各类题目，可以加深对概念的理解，提高解题技巧。希望本试题集能为你的学习提供帮助，也欢迎进一步探讨更多相关问题。
