【高等数学试题及答案代数与解析几何】在高等数学的学习过程中，代数与解析几何是两个重要的组成部分。它们不仅为后续的微积分、线性代数等课程打下坚实的基础，同时也是许多理工科专业学生必须掌握的核心内容。为了帮助学习者更好地理解和巩固所学知识，本文将提供一份涵盖代数与解析几何的典型试题，并附上详细的解答过程。
一、试题部分
1. 设向量 $\vec{a} = (2, -1, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4, 0)$，求：
（1）$\vec{a} \cdot \vec{b}$
（2）$\vec{a} \times \vec{b}$
（3）$|\vec{a}|$
2. 已知平面方程为 $x + 2y - 3z = 5$，求其法向量和该平面上一点的坐标。
3. 求直线 $L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 2}{4}$ 的方向向量和一个点的坐标。
4. 解下列线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + 3z = 1 \\
x + 2y - z = 4
\end{cases}
$$
5. 求由点 $A(1, 2, 3)$、$B(4, 5, 6)$、$C(7, 8, 9)$ 所确定的平面方程。
二、参考答案与解析
1.（1）向量点积计算：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-1)(4) + (3)(0) = -2 -4 + 0 = -6
$$
（2）向量叉积计算：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -1 & 3 \\
-1 & 4 & 0 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(-1 \cdot 0 - 3 \cdot 4) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 - (-1) \cdot (-1))
$$
$$
= \mathbf{i}(-12) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(8 - 1) = -12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 7\mathbf{k}
$$
即：$\vec{a} \times \vec{b} = (-12, -3, 7)$
（3）向量模长计算：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}
$$
2. 平面方程 $x + 2y - 3z = 5$ 的法向量为 $(1, 2, -3)$。
取 $x = 0$, $y = 0$，代入得：$0 + 0 - 3z = 5 \Rightarrow z = -\frac{5}{3}$，因此点 $(0, 0, -\frac{5}{3})$ 在该平面上。
3. 直线 $L$ 的参数形式为：
$$
x = 1 + 2t,\quad y = -3 - t,\quad z = 2 + 4t
$$
所以方向向量为 $(2, -1, 4)$，点的坐标可以取当 $t = 0$ 时的点 $(1, -3, 2)$。
4. 解方程组：
使用克莱姆法则或消元法：
将第三式代入第一式：
$x + y + z = 6$
$x + 2y - z = 4$ → $x = 4 - 2y + z$
代入第一式：
$(4 - 2y + z) + y + z = 6$
→ $4 - y + 2z = 6$
→ $-y + 2z = 2$ → $y = 2z - 2$
代入第二式：
$2x - y + 3z = 1$
→ $2(4 - 2y + z) - y + 3z = 1$
→ $8 - 4y + 2z - y + 3z = 1$
→ $8 - 5y + 5z = 1$
→ $-5y + 5z = -7$
→ $y - z = \frac{7}{5}$
结合 $y = 2z - 2$，代入得：
$$
2z - 2 - z = \frac{7}{5} \Rightarrow z = \frac{7}{5} + 2 = \frac{17}{5}
$$
则 $y = 2 \cdot \frac{17}{5} - 2 = \frac{34}{5} - \frac{10}{5} = \frac{24}{5}$
再代入第一式得：
$$
x + \frac{24}{5} + \frac{17}{5} = 6 \Rightarrow x + \frac{41}{5} = 6 \Rightarrow x = 6 - \frac{41}{5} = \frac{30 - 41}{5} = -\frac{11}{5}
$$
解为：$x = -\frac{11}{5},\ y = \frac{24}{5},\ z = \frac{17}{5}$
5. 点 $A(1, 2, 3)$、$B(4, 5, 6)$、$C(7, 8, 9)$ 构成的平面方程：
先求向量 $\vec{AB} = (3, 3, 3)$，$\vec{AC} = (6, 6, 6)$
显然 $\vec{AB}$ 与 $\vec{AC}$ 共线，说明三点共线，无法构成平面。因此，这三点不构成唯一平面，需重新选择不共线的点。
若题目中存在笔误，建议检查点的坐标是否正确。
三、总结
本套试题涵盖了向量运算、平面与直线方程、线性方程组求解以及空间几何的基本问题。通过练习这些题目，不仅可以加深对代数与解析几何的理解，还能提升逻辑推理与计算能力。希望同学们在复习过程中认真思考、反复推敲，逐步掌握这一领域的核心知识。
