【串联并联推导公式】在电路分析中，电阻的串联与并联是基础且重要的概念。通过合理运用串联和并联的规律，可以简化复杂电路，便于计算电流、电压和功率等参数。本文将对电阻的串联与并联进行推导，并以表格形式总结其关键公式。
一、串联电路的推导
当多个电阻依次连接，形成一条单一路径供电流通过时，称为串联电路。在串联电路中，电流处处相等，但各电阻上的电压不同。
推导过程：
1. 电流关系：
在串联电路中，电流处处相等，即
$$
I = I_1 = I_2 = \dots = I_n
$$
2. 电压关系：
总电压等于各电阻两端电压之和，即
$$
U = U_1 + U_2 + \dots + U_n
$$
3. 欧姆定律应用：
对每个电阻应用欧姆定律 $ U_i = I R_i $，代入总电压表达式得：
$$
U = I(R_1 + R_2 + \dots + R_n)
$$
4. 等效电阻：
设等效电阻为 $ R_{\text{eq}} $，则有
$$
U = I R_{\text{eq}} = I (R_1 + R_2 + \dots + R_n)
$$
所以，
$$
R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n
$$
二、并联电路的推导
当多个电阻连接在相同的两点之间，形成多条独立路径供电流通过时，称为并联电路。在并联电路中，各支路电压相同，但电流不同。
推导过程：
1. 电压关系：
在并联电路中，各支路电压相等，即
$$
U = U_1 = U_2 = \dots = U_n
$$
2. 电流关系：
总电流等于各支路电流之和，即
$$
I = I_1 + I_2 + \dots + I_n
$$
3. 欧姆定律应用：
对每个支路应用欧姆定律 $ I_i = \frac{U}{R_i} $，代入总电流表达式得：
$$
I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \dots + \frac{U}{R_n}
$$
4. 等效电阻：
设等效电阻为 $ R_{\text{eq}} $，则有
$$
I = \frac{U}{R_{\text{eq}}} = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \right)
$$
所以，
$$
\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}
$$
三、总结对比表
| 特性 | 串联电路 | 并联电路 |
| 电流 | 相等（I = I₁ = I₂ = …） | 不等（I = I₁ + I₂ + …） |
| 电压 | 不等（U = U₁ + U₂ + …） | 相等（U = U₁ = U₂ = …） |
| 等效电阻 | R_eq = R₁ + R₂ + … | 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + … |
| 适用场景 | 需要分压或限流 | 需要分流或增加通路 |
| 故障影响 | 一处断开，整个电路不通 | 一处断开，其他支路正常 |
四、结语
电阻的串联与并联是电路分析中的基本方法，掌握它们的推导原理有助于理解复杂电路的工作机制。通过合理的组合方式，可以实现不同的电路功能，如分压、分流、滤波等。在实际应用中，应根据具体需求选择合适的连接方式，以达到最佳效果。
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