【单位圆的函数表达式】单位圆是数学中一个非常重要的几何图形，它在三角函数、解析几何和复数理论中都有广泛应用。单位圆的定义是以原点为中心，半径为1的圆。它的标准方程为：
$$
x^2 + y^2 = 1
$$
在这个圆上，任何一点 $(x, y)$ 都满足上述等式。通过单位圆，我们可以直观地理解三角函数的定义和性质，尤其是正弦、余弦和正切函数。
单位圆与三角函数的关系
在单位圆中，角 $\theta$（以弧度为单位）的终边与单位圆相交于点 $(\cos\theta, \sin\theta)$。因此，单位圆上的点可以表示为：
$$
(\cos\theta, \sin\theta)
$$
这为我们提供了三角函数的几何解释，并且可以帮助我们推导出各种三角恒等式和公式。
常见角度的单位圆坐标表
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\tan\theta$ |
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 45° | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60° | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | $\frac{\pi}{2}$ | 0 | 1 | 无定义 |
单位圆的参数方程
除了直角坐标系下的方程 $x^2 + y^2 = 1$，单位圆还可以用参数方程来表示。设 $\theta$ 为参数，则单位圆的参数方程为：
$$
x = \cos\theta \\
y = \sin\theta
$$
这种形式常用于描述旋转运动、周期性变化以及复平面上的点表示。
单位圆在复数中的应用
在复数平面中，单位圆上的点可以用欧拉公式表示为：
$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
$$
这个表达式将指数函数与三角函数联系起来，是复分析中的重要工具。
总结
单位圆不仅是几何学中的基本图形，也是理解三角函数、复数和周期性现象的重要工具。通过单位圆，我们可以直观地看到三角函数的值如何随着角度的变化而变化，并且能够方便地进行计算和推导。
单位圆的函数表达式不仅包括其标准方程，还包括参数方程和复数表示，这些都为数学研究和实际应用提供了坚实的基础。
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