【定积分分部积分公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数乘积的情况。对于不定积分，我们有经典的分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
而在定积分的背景下，该公式同样适用，并且形式稍作调整如下：
$$
\int_a^b u(x) \, dv(x) = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b v(x) \, du(x)
$$
这一公式在计算某些复杂函数的定积分时非常有效，尤其是当直接积分难以进行时。以下是关于定积分分部积分公式的总结与应用示例。
一、分部积分法的基本原理
分部积分法是基于乘积法则的逆运算。假设 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是可导函数，则其乘积的导数为：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
对两边从 $ a $ 到 $ b $ 积分，得到：
$$
\int_a^b \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] dx = \int_a^b u'(x)v(x) dx + \int_a^b u(x)v'(x) dx
$$
左边可以简化为：
$$
u(b)v(b) - u(a)v(a) = \int_a^b u'(x)v(x) dx + \int_a^b u(x)v'(x) dx
$$
移项后得：
$$
\int_a^b u(x)v'(x) dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x) dx
$$
这正是定积分分部积分公式的标准形式。
二、分部积分的应用步骤
1. 选择 $ u $ 和 $ dv $：根据被积函数的形式，合理地将函数分为两部分，一部分作为 $ u $，另一部分作为 $ dv $。
2. 求 $ du $ 和 $ v $：对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式：将上述结果代入分部积分公式。
4. 计算新积分：处理新的积分表达式，可能需要再次使用分部积分或其他方法。
三、常见应用类型
| 类型 | 被积函数示例 | 分部积分策略 |
| 多项式 × 指数函数 | $ x e^x $ | 令 $ u = x $, $ dv = e^x dx $ |
| 多项式 × 三角函数 | $ x \sin x $ | 令 $ u = x $, $ dv = \sin x dx $ |
| 对数函数 × 多项式 | $ \ln x $ | 令 $ u = \ln x $, $ dv = dx $ |
| 指数函数 × 三角函数 | $ e^x \cos x $ | 可能需多次分部积分 |
四、典型例子解析
例1：计算 $ \int_0^1 x e^x dx $
- 设 $ u = x $, $ dv = e^x dx $
- 则 $ du = dx $, $ v = e^x $
- 代入公式：
$$
\int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1
$$
例2：计算 $ \int_1^e \ln x \, dx $
- 设 $ u = \ln x $, $ dv = dx $
- 则 $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $
- 代入公式：
$$
\int_1^e \ln x \, dx = [x \ln x]_1^e - \int_1^e 1 \, dx = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1
$$
五、注意事项
- 分部积分并不是万能的，有时会导致更复杂的积分。
- 需要灵活选择 $ u $ 和 $ dv $，通常遵循“ILATE”原则（I: Inverse trigonometric, L: Logarithmic, A: Algebraic, T: Trigonometric, E: Exponential）来决定优先级。
- 若首次分部后仍无法积分，可尝试再次使用分部积分或结合其他方法。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int_a^b u(x) dv(x) = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x) du(x) $ |
| 原理 | 基于乘积法则的积分形式 |
| 步骤 | 选 $ u $ 和 $ dv $ → 求 $ du $ 和 $ v $ → 代入公式 → 计算新积分 |
| 应用类型 | 多项式 × 指数/三角函数、对数函数等 |
| 注意事项 | 灵活选择 $ u $ 和 $ dv $，避免复杂化 |
通过掌握定积分分部积分公式，可以解决许多原本难以处理的积分问题，是学习高等数学不可或缺的重要工具之一。
以上就是【定积分分部积分公式】相关内容，希望对您有所帮助。
